草稿。第 1–12 节我逐节改过；第 13 节往后的内容还没有经过我本人审校，那部分可能有错、有啰嗦、有说不清楚的地方。注释和音频也还没做，节与节之间的交叉引用编号最后会统一核对。
关于音乐的中文材料，几乎都停在"是什么"上：音阶有七个音，一个八度有十二个半音，标准音是 440 赫兹，两个音相差五度会协和。这些都对，但没有一份告诉你为什么。
我上学的时候就卡在同一个地方。书上讲声音，永远是那三行：音高、响度、音色。前两个都老老实实给了你数字——音高看频率，单位赫兹；响度看振幅，量出来是分贝。到第三个，它给了你一个词，配一句"音色由发声体的材料和结构决定"，然后就翻页了。
这个疑问一直放着，没机会解决。今年暑假我有机会接触了一些音乐，就想趁这个机会把它们搞明白。
这篇文章想做的事，就是把这些"为什么"从头推一遍。用的工具只有中学物理和加减乘除，不需要任何乐理基础。推完之后，下面这些问题应该都能自己答上来：
它们不是六个独立的知识点。它们全都从同一件事里长出来，而那件事就是教材没讲明白的第三个属性。
声音的源头永远是同一件事：有东西在抖。
先问一句：抖的是什么？
没有例外。没有东西在抖，就没有声音。
那"抖"是怎么变成"听见"的？中间靠空气。
抖的东西每往外推一下，就把紧挨着它的那层空气挤紧一点；每往回缩一下，那层空气又变稀一点。挤紧、变稀、挤紧、变稀，一下接一下，跟着它抖。
而空气不会老老实实待在原地：被挤紧的那一层要去挤下一层，下一层再挤下一层。这一疏一密就这样一层一层往外传。
传到你耳朵，它把你的耳膜往里按一点、又放回来一点，一下接一下。你的耳膜在重复那个东西的抖动。这就是听见。
所以耳朵能拿到的东西只有一样：耳膜什么时候被按进去多少。把它按时间画出来，就是一条上下起伏的曲线。除了这条曲线，什么都没有进来。
这条曲线值得多说一句，因为后面所有推理都站在它上面，而且它是双向的：
所以不管"音色"到底是什么，有一件事已经确定了：它一定已经画在这条曲线的形状里。钢琴和吉他你一听就分得出来，那它们的曲线就必须长得不一样。要找音色，不用去猜材料和结构，去看形状就行。
不过在看形状之前，先交代一件事：这条曲线通常不是一个东西画出来的。
此刻你周围可能同时有空调在响、窗外有车经过、隔壁有人说话。它们各自去挤那片空气，而空气只有一片；最后按在你耳膜上的仍然只有一条曲线，因为耳膜也只有一张，它没法分头行动，只能整体地动一下。所以好几个东西的推挤，会先加在一起，才变成那条曲线。
先看两条真实的曲线。
两条都是声音在耳膜上画出来的曲线。不用分析，只用眼睛看：A 每隔一段就重复一次，B 从头到尾没有重复过。
这个差别是有来头的。一条曲线里叠着的那些东西，有时候来自同一个物体，有时候来自好几个物体——曲线的形状会把这件事记下来。至于它是怎么记下来的、怎么把叠在一起的东西再拆开，是第 6 节的事。
在那之前，我们从最简单的情况开始：只有一个东西在抖。
先说一件事：那张膜是可以被牵着走的。
耳机和音箱里的膜，背面粘着一圈线圈，线圈坐在一块磁铁的磁场里。电流多大，膜就被推到多远。电流怎么起伏，膜的位置就怎么起伏——你给它一条什么样的曲线，它就走一条什么样的曲线。
这和拨一根弦不一样。弦是自己在抖，它有自己的抖法；膜是被电流牵着走的，它没有自己的主意。
那就先让它走最简单的一条。
什么叫最简单？一进一出，每一次都一模一样，中间没有任何突然的转折。
把这样一次来回拆开看：膜从原位往外走，越走越慢，到最外面停一瞬间，然后往回；穿过原位的那一刻最快；接着往里凹，又越走越慢，到最里面停一瞬间，再折回来。
把"膜此刻在哪儿"按时间画出来，就是右边那条曲线。它有一个明显的特点：两头是圆的，中间最陡。两头圆，是因为膜在那儿走得慢；中间陡，是因为它在那儿走得最快。如果它是匀速来回跑的，画出来会是尖角的折线。
这条曲线叫正弦。
它不是我们随手挑的一条。凡是被推得越远、往回拉的力就越大的东西——绷紧的弦、音叉、一切绷着的东西——只要把它推离原位再放手，它自己走出来的就是这个形状。因为力随距离变大，它在两头被拽得最狠、减速最猛；而到了原位那一刻没有力拉它，速度才最大。
所以这不是我们用三角函数去描述振动，而是振动本身就走这个形状，三角函数只是给这个形状起了个名字。
现实里能只走这一条曲线的东西不多：电子合成可以精确做到，音叉很接近。第 2 节那两条曲线都比它复杂得多。
现在我们手上有了一条最干净的曲线。下一个问题就很具体了：这条曲线身上，有什么是可以量的？
一条干净的曲线，能量的东西其实只有两个。
第一个：摆多大。
同一张膜，你可以让它只鼓出去一点点，也可以让它鼓得很厉害。曲线的形状一模一样，只是上下摆动的幅度不同。这个幅度叫振幅。
摆得越大，膜推动的空气越多，你的耳膜被按得越狠——你就觉得越响。
这就是课本上那三行里的第二行：响度（有的书上叫音量）。课本告诉你它由振幅决定，说的就是这件事。
第二个：一秒来回几次。
同一个振幅，你可以让膜慢慢地来回，也可以让它飞快地来回。一秒来回几次，这个数叫频率，单位赫兹。
一秒来回 440 次，就是 440 赫兹。一秒来回 880 次，你立刻能听出这是个更高的音。
这就是课本上的第一行：音高。课本告诉你它由频率决定，说的也就是这件事。
到此为止，课本给的那两个数字，来源都清楚了：它们不是关于"声音"的两个抽象属性，它们就是这条曲线的两个可量的特征——摆多大，和多快。
而这条曲线上没有第三样东西可以量了。它就是"一进一出、每次一样"，除了摆多大和多快，它没有别的余地。
（严格说还有一样：从哪个时刻开始。但单独听一个音的时候，这个东西耳朵完全听不出来，先放着。）
在往下走之前，先记一个奇怪的现象，它后面会变得很重要。
440 和 880 差 440 赫兹；880 和 1320 也差 440 赫兹。可这两对听起来根本不是同一种关系。
440 到 880，你会觉得"还是那个音，只是升上去了一层"；而 880 到 1320，听起来是两个明显不同的音。
真正让人觉得"同一个音又升了一层"的，是 440 → 880 → 1760 → 3520，每一次翻一倍。
所以音高跟的是倍数，不是加法。至于耳朵为什么会这样，等看过耳朵里面长什么样再说。
两个量都量完了。下一节就用它们造一个声音出来，看看够不够用。
现在就用这两个量造一个声音出来。频率定 440，振幅随便调一个，让膜严格按那条干净的曲线走。
【音频：440 赫兹的纯振动】
它不像任何乐器。
不像钢琴，不像吉他，不像小提琴，也不像人唱歌。它像老式电话的等待音，像仪器的提示音，像医院里做听力测试的那个声音。
现在把它和钢琴上的同一个音并排放。
【音频：钢琴上的同一个音】
两个声音的频率一样，响度也能调成一样。按前面那两个量，它们应该是同一个声音。可你一秒钟就能听出哪个是钢琴。
所以两个量不够用。一定还有第三样东西——它听得一清二楚，但既不是摆多大，也不是多快。
教材当然知道这件事。它给这东西起了个名字：音色。然后解释说，音色由发声体的材料和结构决定。
问题就在这儿。前两个属性，教材告诉你的是量什么：量振幅、量频率，都能读出一个数。第三个属性，它告诉你的是怪谁：怪材料、怪结构。
"由发声体决定"这句话不错，但它什么也没说——它等于"它由它自己决定"。你合上书，手里还是只有两个数字，加一个不知道该往哪儿放的词。
不过到这一步，我们手里的线索已经够用了。
第一条（第 2 节）：好几个东西同时在响的时候，它们各自去挤那片空气；而空气只有一片、耳膜只有一张，所以这些推挤会先加在一起，才变成耳膜上那一条曲线。
第二条（第 3、4 节）：一个"一进一出、每次一样"的来回，只能给出那条干净的曲线，而且它全部的花样就是摆多大和多快这两样，再没有别的。
把这两条并在一起，钢琴那条复杂的曲线就只剩一种可能：它不是一个来回，是好几个来回叠在一起。
那这几个来回是从哪儿来的？把范围缩到最小：拨一根吉他弦。你只碰了这一根弦，也只弹了一个音——可它的曲线照样不是那条干净的一进一出。
那么那几个叠在一起的来回，只能来自这一根弦。
一根弦，同时在做好几个快慢不同的来回。你以为你弹了一个音，其实这一根弦一次给了你好几个。
第 2 节看图的时候留过一个没答的问题：一条曲线里叠着的那些东西，是来自同一个物体，还是好几个物体。现在答了一半——它们可以来自同一个物体，一根弦就够了。
还剩一半没答：这几个来回的快慢，彼此之间是什么关系？
这里有个线索。如果它们的快慢是随便凑的，叠出来的曲线就该像第 2 节的图 B 那样，从头到尾不重复。可一根弦拨出来的曲线，是图 A 那样一段段严格重复的。这说明那几个来回之间不是随便的关系，它们被什么东西管着。
弦和那张膜不一样的地方在于：膜被电流牵着走，弦是自己抖的。而且弦不是一个点，它是一整根，从这头到那头每一处都能动。
但它有一个躲不掉的限制：弦的两头是被架死的。吉他上一头卡在品上、一头压在琴桥上，钢琴也一样。两头动不了。
这一条限制，把弦能摆出的形状全部框死了。
最简单的一种：整根弦一起往一边鼓起来，中间鼓得最多，两头不动。鼓过去，再鼓回来。这是一个包。
第二种：弦的正中间那一点始终不动，左右两半各鼓一个包，一个往上鼓的时候另一个往下鼓。两头照样不动。这是两个包——而那个不动的点，正好把弦分成两等份。
第三种：两个点不动，三个包，那两个点正好把弦分成三等份。第四种：三个点不动，四等份，四个包。
这里的"等份"不是凑巧，是被逼的。包和包必须一样长——如果左边那个包比右边长，两边来回一次所需的时间就不一样，它们没法一直配合下去。所以弦要么整根一起动，要么就把自己均匀地切成 2 份、3 份、4 份。
也正因为如此，不可能有一个半包。半个包意味着弦的某一头正在动，而两头被架死了。所以弦上只能容下整数个包。
那这些抖法的快慢是什么关系？
同一根弦上，扰动跑得多快是固定的——它只取决于弦绷得多紧、多粗多重，跟弦此刻摆成什么形状无关。
一个包的时候，扰动要跑完整根弦，再折回来，才算一个来回。两个包的时候，每一段只有半根弦那么长，同样的速度，来回一次只要一半的时间——所以它一秒来回的次数正好是两倍。三等份，每段三分之一长，快三倍。
所以：一根弦能做的所有抖法，快慢正好是 f、2f、3f、4f、5f…… 全部是最慢那一种的整数倍，一个零头都不带。
而你拨弦的时候，弦并不会从里面挑一种来做。
你把弦勾到一边再松手，那一瞬间弦被拉成一个尖角。这个尖角不是上面任何一种形状——它不是一个包，不是两个包，也不是三个包。可弦除了这些形状之外什么也不会。
所以只剩一种可能：它同时在做好几种。
松手之后，被牵动的每一种都按自己的快慢开始来回：f 的按 f 走，2f 的按 2f 走，3f 的按 3f 走。它们同时推着空气，加在一起，才是你耳朵拿到的那条曲线。
现在回头看第 5 节结尾那个线索，它对上了：因为这几个来回的快慢全是 f 的整数倍，每过 1/f 秒，它们会同时回到各自的出发状态，于是整条叠加曲线完整重复一次。这正是图 A 的样子——图 A 那两条竖虚线之间，就是 1/f。
到这里，"一个音"这个说法可以扔掉了。你拨一下弦，得到的是一整列：
f、2f、3f、4f、5f……
最低的那个 f 叫基频，上面那些整数倍叫泛音。
你拨弦的那一下，物理世界替你把这一列全都发了出来。
至于每一种各占多少——这一节没有回答，也不需要回答。但那正是我们要找的东西。
上一节结束的时候，我们手里已经不是一个数了，是一列：f、2f、3f、4f、5f……而且每一个都有自己的"占多少"。
这种东西最省事的记法，就是画出来：横轴放频率，纵轴放这个频率占多少。每一种抖法画一根竖线，位置就是它的快慢，高矮就是它的占比。
这张图有个现成的名字，叫频谱图。你在播放器或者录音软件里见过的那种跳动的柱状条，就是它。
现在把第 5 节那两个声音摆到这张图上，区别一眼就出来了。
我们造的那个纯振动，图上只有一根线。它只有一种抖法，没有第二种。所以它不像任何乐器——真实的乐器不可能只有一根线，因为真实的弦不是一个点，它必然同时在做好几种抖法。那个声音之所以听着像仪器提示音，是因为自然界几乎没有东西能发出它。
钢琴的那个音，图上是一整排线：f 那根最高，2f 矮一些，3f 再矮一些……一直往后。
而吉他的同一个音，线的位置和钢琴完全一样——都是 f、2f、3f、4f，一根不差。不一样的是这些线上的分布：吉他在 3f、4f、5f 这些靠后的位置上分得多，所以听着更亮、更有金属味；钢琴用软榔头敲出来的音，大部分都堆在 f 和 2f 上，越往后掉得越快，所以听着更圆润。
到这里，第 1 节欠的那笔账可以结了。
音色，就是这张图上的分布。
教材那句"音色由发声体的材料和结构决定"没有说错——发声体决定的正是这些线的高矮配比。它只是没往下说一层：配比。说到这儿就可以量了。
顺便，那句话为什么在教材里说不下去，现在也清楚了：
因为音色根本不是一个数，它是一串数。音高是一个数，响度是一个数，所以教材给得出；到了音色，要给就得给一整排——一本教科书没法在那三行字里塞进一张图。
反过来也成立。第 2 节说过，两个声音的曲线一样，你就绝对听不出区别。而线的位置和高矮全都一样，叠出来的曲线就一样。所以这张图相同，音色就相同——不管它是钢琴、是吉他，还是电脑合成的。
最后看一眼这张图能装下多少东西：
课本上那三行，其实是同一张图的三种读法。
不过这张图有个毛病：它是一张静止的照片。而真实的声音是在时间里流动的——你拨下去的一瞬间和两秒之后，这张图并不一样。下一节处理这件事。
把一根弦拨下去，然后盯着那张频谱图看两秒。它一直在变。
每一根线都在往下掉，但掉的速度不一样：越靠后的线，掉得越快。
为什么？回到弦的形状。一个包的抖法，整根弦是一条平缓的弧；五个包的抖法，同样长的弦上要塞五个来回，每一处都弯得厉害得多。弯得越狠，弦内部来回搓的损耗就越大，能量也就掉得越快。
所以一根弦拨下去，声音是这么走的：
这件事你自己就能听出来：拨一下吉他的空弦，闭上眼睛听尾巴那一段。它比刚拨下去的时候要"空"、要"闷"——不是变小声了，是成分变少了。
反过来，最开头那一下最热闹。
你勾住弦、松手的那一瞬间，弦被拉成一个尖角——尖角是所有形状里最不像任何单一抖法的一种，所以那一刻几乎每一根线都被点着了，还混进了指甲刮过弦、琴桥被拽了一下这些一次性的动静。开头那几十毫秒，是整个声音里成分最杂的一段。
而恰恰是这一段，被你的耳朵拿去认乐器。
有个实验很直接：把一段钢琴录音开头的几十毫秒剪掉，只留后面平稳的部分，很多人认不出这是钢琴。剪掉的那一小段里没有旋律、没有音高、没有节奏，短得你根本注意不到——可乐器的身份就在那儿。
所以上一节最后那句话得改一下：
音色不是一张照片，是一段电影。而且这段电影最要紧的镜头，在开头那几十毫秒。
音色这条线到这里就走完了：它是什么——频谱图上的分布；它怎么随时间变——起音最杂，越靠后的线掉得越快。第 1 节欠的账结清了。
但还有一笔更早的账没结。第 4 节说过，音高跟的是倍数，不是加法，当时把原因押后了。而接下来要问的问题更大：两个音同时响，会怎样？
这两件事，都得先看看你耳朵里面长什么样。
耳蜗是一根卷起来的管子，里面纵向绷着一张膜。把它拉直了看，大约 35 毫米长。
关键在于这张膜不是均匀的：靠入口那一头又窄又硬，越往里越宽、越软。
窄而硬的东西节奏快，宽而软的东西节奏慢。这件事你到处都见过：荡秋千的时候乱推是荡不起来的，只有踩准它自己的节奏推，它才越荡越高。每样东西都有自己最容易被推动的那个节奏——手指划玻璃杯口会响，对着瓶口吹气会呜呜叫，都是同一回事。
这张膜上，每一个位置都有自己的节奏。
所以一条混着所有东西的曲线灌进耳朵，会发生这样的事：高频的成分在入口附近就把膜推起来了，低频的成分要一路走到最深处才推得动。入口那一端管到大约 20000 赫兹，最深处管到大约 20 赫兹。
膜上排着大约 3500 个毛细胞，一个挨一个，每个只管自己那一小段，各自把"我这一档现在有多强"报上去，通过大约三万根神经纤维送进脑子。
频率被摊成了位置。
所以第 7 节那张频谱图不是一个数学操作，它是你耳蜗的读数。横轴上那些位置，在你耳朵里是实打实的一段一段的长度。一条曲线进来、被拆成一列成分，这件事在你的大脑开始工作之前就已经做完了。
到这儿，第 4 节那笔账可以还了。看图上那几段距离：220 到 440、440 到 880、880 到 1760——每一段都一样长，大约 3.5 毫米。
频率翻一倍，在你耳蜗上就是往前挪 3.5 毫米。翻两倍就是 7 毫米。
而"加 440 赫兹"在这张膜上根本不是一个固定的距离：从 440 加到 880，走了 3.5 毫米；从 880 加到 1320，只走了 2 毫米；再往上加，越走越短。
所以"翻倍才像升了一层，加同样多不像"——这不是什么音乐上的约定，是你耳朵长成这样。
还有一件事要先记下来，下一节马上就要用。
一个频率进来，膜上鼓起来的不是一个点，是一小片。膜是连着的，不可能只有一个点动而旁边纹丝不动。
于是两个音同时进来，就有两种完全不同的局面：
两个频率要离多远，膜上那两片才分得开？在中高频，大约要差到百分之十几。比这更近，就开始压在一起了。
（这里有两件事别混起来。先后放两个音让你比高低，你分得极细——差千分之三就听得出来。同时放两个音让你数出有几个，就粗得多，因为那要看膜上两片分没分开。这两个精度差了几十倍，后面两个数字都会用到。）
耳朵里面看清楚了。下一节开始，同时响的音不止一个。
先问一个更基本的问题：耳朵这套东西，当初是为什么长出来的？
肯定不是为了听音乐。
想想它每天真正在干的活。你走在路上：前面有车，旁边有人说话，头顶有鸟，包里手机在震。这些东西各自去挤空气，而空气只有一片，最后按到你耳膜上的仍然只有一条曲线（第 2 节）。
可你一点都不觉得混乱。你知道外面有四样东西，知道车在靠近，知道有人在叫你的名字。
耳朵真正的工作，是从这一条曲线里判断出：外面有几个东西在响，各是什么。
那它靠什么判断哪些成分属于同一个东西？
线索在第 6 节。一根绷紧的弦，因为两头被架死，只能抖出 f、2f、3f、4f 这样整数倍的一列。而自然界里会发声的东西，绝大多数是同一个原理：绷紧的声带、绷紧的弦、绷紧的皮、鸟的鸣管。它们发出来的都是整数倍的一列。
所以大脑手里有一条极好用的规则：
膜上鼓起来的那些片，如果能套进同一个整数列（f、2f、3f……），它们八成来自同一个东西；套不进去，那就是好几个东西。
这条规则没人教过你，也不用学。它是几十万年里"从一片嘈杂里认出东西"练出来的。
现在关键的一步来了。"好不好听"这件事，就挂在这条规则上。
两个音同时响，大脑要干的活是判断：这是一个东西，还是两个？而这个判断有三种难度：
第三种最勾人。
这不是音乐特有的。凡是靠预测过日子的系统，都是这个形状：一件事你已经全知道了，再看一遍没有任何收获；一件事完全没有规律，看多久也学不到东西。只有"大部分能预测、但还有一点没吃透"的，才值得花力气。游戏太简单会腻，太难会弃；小说全猜得到结局的没意思，毫无逻辑的看不下去。
音乐没有为自己进化出任何新机能。它是在蹭这一套本来为"从嘈杂里认出东西"而长出来的系统。
所以"两个音好不好听"这个问题，现在可以换成一个能验的问题：
这两个音同时响的时候，大脑判断"是一个还是两个"这件事，落在哪一档？
下一节拿三对具体的频率来量一量。
规则有了，现在拿三对具体的频率来验。每一对都做同一件事：把两个音各自的整数列摆出来，看能不能套进同一个列，再看膜上的片会不会压在一起。
第一对：440 和 880。
注意这里的重合是分毫不差的：880 那一列的每一根，都精确落在 440 已经有的某一根上。不是"差不多在附近"，是同一个位置。
所以 880 一根新线都没添，它只是把 440 已有的线中的一半加粗了一遍。
大脑的判断毫无悬念：这就是一个东西，只是听着亮了一点。第一档。
第 4 节那个观察到这里也有了出处：翻倍之所以听着"还是那个音"，是因为它的整列都是原来那列的一部分，没带来任何新东西。
第二对：440 和 466。
一根都对不上。466 离 440 差 26，932 离 880 差 52，1398 离 1320 差 78——每一根都擦着过去，一根都没撞上。
而按第 9 节，差这么点的两根在膜上是压在一起的：同一群毛细胞，同时被两个东西推。这时候会发生一件很具体的事——两个东西的推挤时快时慢地错开：有时候同时往一边推，那一刻特别响；有时候一个往左一个往右，互相抵消，那一刻几乎没有。
差 26 赫兹，就是每秒钟这样一强一弱地交替 26 次。而且不止一处在抖：880 那一处每秒抖 52 次，1320 那一处每秒抖 78 次，快慢还全不一样。
于是大脑两条路都被堵死了：这些线套不进同一个整数列，所以合不成一个东西；可它们在膜上又压成一团、还在互相搅，所以也数不出是两个东西。既合不起来，也分不开——这就是"归不了组"。
第二档。听起来就是发毛、发抖、坐立不安。
第三对：440 和 660。
这一对的样子和前面两对都不一样：660 那一列，有一半精确落在 440 已经占好的位置上（1320、2640……），另一半是全新的（660、1980……）。
而且新添的那几根，位置很讲究：660 落在 440 和 880 正中间一带，离两边都远，膜上各鼓各的，谁也不挤谁。（越往上走线会越来越挤，但那些线本身已经很弱了。）
于是大脑同时收到两份分量都很足的证据：一半的线精确重合——这是一伙的；另一半是新的、而且清清楚楚分得开——这是两个。
中间那一档。听起来既不是一个音，也不是两个在打架，而是一个有厚度的东西。
三对量完，只有第三对落在中间那一档。而这一对的比值是：
660 ÷ 440 = 1.5
现在回过头看，这一对为什么会"一半重合、一半是新的"，其实全写在这个数里。
1.5 就是 3/2。跟着图上那条扫描线看一遍：
所以 3 比 2 这个比值，管的就是"几步之后撞一次"：440 每 3 根撞一次，660 每 2 根撞一次。比值里的数字越小，撞得就越早、越勤。
重合的线够多，所以"是一伙的"这个证据很强；没撞上的新线也还在，所以"是两个"这个证据也很强。这正是中间那一档的配方。
而这个比例根本不用我们去找，它本来就长在一根弦上：440 那根弦的第 3 根线是 1320，第 2 根线是 880，1320 ÷ 880 就是 1.5。
每一个音的内部，本来就藏着这个比例。你这辈子听过的每一个自然的声音里都有它。
那么 1.5 是唯一的落点吗？1 到 2 之间还有没有别的比值也能落进中间那一档？下一节把它们全排一遍。
上一节那条规则，说白了就一句话：两边要各走几根线，才碰得到一起。
440 和 660 是 3 比 2：440 走 3 根，660 走 2 根，碰头。之后每次再各走 3 根、2 根，又碰一次。
换个比值，规则一样：比值是几比几，就是两边各要走几根才碰头。
| 比值 | 是几倍 | 两边各走几根才碰头 |
|---|---|---|
| 2 : 1 | 2 倍 | 2 根 和 1 根 |
| 3 : 2 | 1.5 倍 | 3 根 和 2 根 |
| 4 : 3 | 1.33 倍 | 4 根 和 3 根 |
| 5 : 4 | 1.25 倍 | 5 根 和 4 根 |
| 6 : 5 | 1.2 倍 | 6 根 和 5 根 |
| 16 : 15 | 1.07 倍 | 16 根 和 15 根 |
走的根数越多，碰头就越晚、越稀。而线越往后越弱（第 7 节那张图上，后面的线一根比一根矮），所以碰得太晚，就等于永远碰不上。
看最后一行：上一节那个 440 配 466，比值差不多就是 16 比 15——要走到第 16 根才碰第一次，那时候两边的线都弱得听不见了。它掉进第二档，就是这个原因。
所以要找最好的落点，就是找走的根数最少的那个。
根数最少的当然是翻倍：一边 2 根，一边 1 根，马上就碰上。可翻倍是死路——上一节量过了，它一根新线都不添。
那翻倍之后，最少的是谁？
3 根以内能凑出来的比值，一共就两个：3 比 1，那是 3 倍，早跳到外面去了；剩下的只有 3 比 2，也就是 1.5。
就这一个，没有别的候选。
所以在 1 倍和 2 倍之间，1.5 是碰头最快的比值，也是唯一一个能紧跟在翻倍后面的。
再往下的 4:3、5:4、6:5 也都还能用，只是碰头一次比一次晚，新线一次比一次多。先把它们记下来，后面要用。
到这里，我们手上有了一个音，也有了配它最好的那个伙伴：给我一个频率，乘 1.5 就行。
可音乐不是两个音就完了。唱一首歌中间要换很多个音，而且从其中任何一个音出发，你都还想能找到它的 1.5 倍。下一节就处理这件事——它会直接决定，从一个频率翻到它的两倍之间，要切成几份。
以下内容尚未经作者审校。从这里开始到文末，是初稿直接放上来的，我自己还没有逐句过一遍。
上一节的结论是：给我一个频率，乘 1.5，就得到配它最好的那个音。
可这只解决了一对。你唱一首歌要换很多个音，而且从其中任何一个音出发，你都还想能找到它的 1.5 倍。
所以你需要的不是两个音，是一整套——一把梯子。
这把梯子的每一级之间必须一样宽，否则从第一级起跳和从第三级起跳，走同样多级得到的关系就不一样了，"往上走几级 = 乘 1.5"这条规矩当场作废。
而"一样宽"在这里不是"每级多加同样多赫兹"。第 9 节已经说清楚了：耳朵跟的是倍数。所以一样宽的意思是——每上一级，都乘同一个数。
于是问题变得非常具体：
从一个频率到它的两倍之间，切成 n 等份（每级乘同一个数），有没有某一级正好落在 1.5 倍上？
这没什么可推的，试就行了。
| 切几份 | 最接近 1.5 的是第几级 | 实际是几倍 | 差多少 |
|---|---|---|---|
| 5 份 | 第 3 级 | 1.516 | 高 1% |
| 7 份 | 第 4 级 | 1.486 | 低 0.9% |
| 12 份 | 第 7 级 | 1.4983 | 低 0.1% |
| 17 份 | 第 10 级 | 1.5035 | 高 0.2% |
| 20 份 | 第 12 级 | 1.516 | 高 1% |
谁来判合格？耳朵。
第 9 节量过：先后放两个音让你比高低，差千分之三你就听得出来。
12 是第一个及格的。
再看 20 份那一行，它很说明问题：切了 20 份，最接近 1.5 的那一级还是 1.516，和切 5 份一模一样。原因很简单——20 份的第 12 级，12/20 约一下就是 3/5，正是 5 份的第 3 级。你多切了 15 刀，一个新的落点都没多出来。
那为什么不继续找更准的？41 份能做到 0.03%，53 份能做到 0.006%。可 12 份那 0.1% 已经在听不出来的范围里了——再准是准给仪器看的，你听不出任何好处，代价却是一个八度四五十个键，手指跟不上。
所以 12 不是谁规定的，它是第一个让"乘 1.5"落在耳朵挑不出毛病的位置上的份数。
而且等分白送了一件大礼：既然往上数 7 级正好是 1.5 倍，那么从第 0 级数到第 7 级是 1.5 倍，从第 1 级数到第 8 级也是，从第 2 级数到第 9 级还是……切到头就翻倍回绕，于是 12 个音里每一个都有自己的 1.5 倍伙伴，一个不漏。
到这里，名字可以发了：
钢琴上一个八度里 12 个键，就是这么来的。
12 个音都在手里了，但一首歌不会把这 12 个平均地用。它总是围着一小套音转。
挑哪几个？标准很清楚：这一小套里面，1.5 倍的关系越多越好。
而 1.5 倍就是往上走 7 格。所以问题变成一道纯数数的题：从 12 个格子里挑几个，让"相差 7 格"的配对最多。
先干一件事：把 12 个格子按"每次走 7 格"重新排一次队。
从 0 出发跳 7 格到 7，再跳 7 格到 2（超过 12 就翻倍回绕），再到 9、4、11、6、1、8、3、10、5，第 12 跳回到 0。
12 跳，正好把 12 个格子全踩一遍，一个不漏，一个不重（因为 7 和 12 没有公因数）。
于是 12 个音被穿成了一条链：
0 → 7 → 2 → 9 → 4 → 11 → 6 → 1 → 8 → 3 → 10 → 5 →（回到 0）
这条链上，每两个挨着的，就是一对 1.5 倍。
现在那道数数题就简单了：从链上挑 m 个，怎么挑才能让"挨着的对数"最多？
答案很明显：挑连着的一段。连续挑 m 个，就有 m−1 对；挑散的，一定更少。
连着挑 7 个，比如 5 → 0 → 7 → 2 → 9 → 4 → 11。把这七个数按从小到大排一下：0、2、4、5、7、9、11，间距是 2 2 1 2 2 2 1。
这就是哆来咪发唆拉西。
它不是七个被挑出来的音，它就是"顺着 1.5 倍这条链连着走七步"的结果，只是按音高重新排了个队。七个音里有六个能在这一组内部找到自己的 1.5 倍——这是任何七音组合能达到的最大值。
连着挑 5 个：0 → 7 → 2 → 9 → 4，排序后是 0、2、4、7、9，间距 2 2 3 2 3。
这就是宫商角徵羽，中国的五声音阶。同一条链，走五步停下是五声，走七步停下是七声。
顺带掉出来一件事：七个音、总共 12 格，设其中 a 段是"隔 2 格"、b 段是"隔 1 格"，那么 a+b=7、2a+b=12，解出 a=5、b=2。唯一解。所以七个音里必然有五个整格、两个半格——这就是钢琴上白键之间为什么有的隔着一个黑键、有的直接挨着。
最后看一个反例，它能说明"连着挑"这条真的在干活。
挑 6 个音，完全均匀地放：0、2、4、6、8、10。看起来最整齐、最讲道理。
可 1.5 倍是走 7 格，而 7 是奇数：从偶数格走 7 格必然落到奇数格上，而这一组里全是偶数格。
结果是——一对 1.5 倍都没有。
这样的音阶真实存在（德彪西很爱用），听起来飘忽、没有落脚点、找不到"家"在哪儿。它的均匀恰好就是它的毛病。
最后要老实交代一句，不然这套推理会被一句话戳穿：
按"1.5 倍越多越好"推到底，最优解是 12 个全用——12 对，比七个音那 6 对还多一倍。所以"为什么停在 7 个或 5 个"，1.5 倍的数量解释不了；它只能解释"既然要七个，为什么必须是这七个"。
停下来的理由正好相反：12 个全用的时候，每个音的处境完全一样（间距全是 1），没有任何一个音显得特殊，于是听不出哪个是"家"，也就没有"想回家"的方向感。不均匀不是缺陷，是导航系统。
12 个音都在手上了，现在可以把任意两个音的关系全排一遍。
工具还是第 12 节那一个：把两个音的比值写成最简分数，看两边各要走几根线才碰头。走得越少，碰得越早越勤。
先打一个招呼：平均律切出来的这些比值，严格说都不是精确的整数比（第 13 节那张表上就看得见，1.4983 不等于 1.5）。但它们都非常接近某一个简单整数比，差百分之零点几。耳朵按最近的那个整数比去归组，所以下面这张表用的是那个理想值。
| 隔几个半音 | 名字 | 最接近的整数比 | 走几根碰头 | 乐理书归的档 |
|---|---|---|---|---|
| 12 | 八度 | 2 : 1 | 2 | 完全协和 |
| 7 | 纯五度 | 3 : 2 | 3 | 完全协和 |
| 5 | 纯四度 | 4 : 3 | 4 | 完全协和 |
| 9 | 大六度 | 5 : 3 | 5 | 不完全协和 |
| 4 | 大三度 | 5 : 4 | 5 | 不完全协和 |
| 3 | 小三度 | 6 : 5 | 6 | 不完全协和 |
| 8 | 小六度 | 8 : 5 | 8 | 不完全协和 |
| 10 | 小七度 | 9 : 5 | 9 | 不协和 |
| 2 | 大二度 | 9 : 8 | 9 | 不协和 |
| 11 | 大七度 | 15 : 8 | 15 | 不协和 |
| 1 | 小二度 | 16 : 15 | 16 | 不协和 |
| 6 | 三全音 | 45 : 32 | 45 | 不协和 |
看"走几根碰头"那一列，它自己断成了三段：
而最后那一列，是乐理课本上要背的分类。两列严丝合缝地对上了：4 根以内碰头的，是"完全协和"；5 到 8 根的，是"不完全协和"；9 根以上的，是"不协和"。断口的位置也正好卡在两段中间，中间是空的。
所以那张背了一学期的表，其实就是一句话：两边各走几根线才碰得上。
不过这张表里有一个地方，和你的体感对不上——三全音。
它排在最后一名，要走 45 根才碰第一次（那时候线早就没了，等于永远碰不上）。可你单独按下一个三全音听听：它并不刺耳，远没有小二度那么难受。
原因是这张表里混进了两把尺子，而它们量的根本不是一回事：
所以三全音的问题不是难听，是悬空：它永远合不成一个东西，也永远不跟谁打架，就那么吊着。乐理书上说三全音"需要解决"，说的就是这件事——它不是刺耳，它是悬着。
最后补一句必须补的：上面所有整数比都是理想值。真实的平均律里，除了八度，没有一根线是精确重合的：
| 音程 | 碰得最近的那一对 | 实际差 | 后果 |
|---|---|---|---|
| 八度 | 880.0 对 880.0 | 0 赫兹 | 真的完全重合 |
| 纯五度 | 1320.0 对 1318.5 | 1.5 赫兹 | 每 0.67 秒轻轻晃一下 |
| 纯四度 | 1760.0 对 1762.0 | 2.0 赫兹 | 每 0.5 秒晃一下 |
| 大三度 | 2200.0 对 2217.5 | 17.5 赫兹 | 已经踩进搅动的边缘了 |
整数比是理想化的极限；耳朵实际跟的是"差多少赫兹"，不是"是不是整数"。这一条下一节还要用。
两个音的规矩清楚了，加到三个也不需要新工具，只需要换个更省力的读法。
两个音的时候我们数两串线撞了几次。三个音就是三串，数起来烦。但有个更快的办法：看这三个频率是不是都是某一个数的整数倍。如果是，三串线就全落在那个数的网格上——那个数就是这个和弦的"根"，哪怕它根本没被弹出来。
拿大三和弦举例，它三个音的比是 4 : 5 : 6。取 200、250、300：
三串全部落在 50 的整数倍上——也就是最低音的 1/4。根很粗，网格很好套，所以听起来"有底"。
| 和弦 | 三个音的比 | 根 = 最低音的 | 体感 |
|---|---|---|---|
| 大三和弦 | 4 : 5 : 6 | 1/4 | 明亮、稳 |
| 小三和弦 | 10 : 12 : 15 | 1/10 | 稳，但暗 |
| 减三和弦 | 25 : 30 : 36 | 1/25 | 紧张、悬着 |
| 半音簇（三个挨着的键） | 无理数比 | 不存在 | 刺耳 |
根越细，网格越难套，听起来就越"悬"。减三和弦细到 1/25，半音簇干脆没有公共的数，波形严格来说不重复。
有意思的是另一把尺子在这里几乎失效了。我把"挨得近不近"那把尺子也跑了一遍（平均律、基频 440、各 10 根线）：大三 0.16、增三 0.17、小三 0.17——三个和弦的搅动程度几乎一模一样。
所以三和弦之间的差别，几乎全在根的粗细上，不在刺不刺耳上。
三个必须打的补丁：
从头到尾，这篇文章只用了四条规则。
剩下的全是推论。随手举几个，你现在应该都能自己往下推：
整套推理的地基是第 2 条：发声体给出整数倍的一列。可这一条不是宇宙律，它是"绷紧的弦和绷紧的声带"这类东西留下的指纹。
换一种东西，指纹就变了。
甘美兰那类金属打击乐器，泛音本来就不是整数倍。于是"撞得上"发生的位置完全不同，什么算协和也跟着不同——而印尼的音律，正是围着那套音色长出来的。有人证明过（Sethares）：给定任意一种音色，都能反推出一套与它匹配的音律。所以协和从来不是频率的固有属性，是音色和音阶配不配的问题。
就算在弦上，12 也不是唯一解。泰国传统音乐的音阶接近 7 等分——第 13 节算过，7 等分的"1.5 倍"偏低 0.9%。这不是做不到，是做得到、而且他们就是这么用的；只不过按我们这套耳朵的标准，那个五度听着发酸。说别的分法"不存在"是循环论证，真正的理由只是这 0.9%。
顺带一提：把 12 等分算明白的第一个人不在欧洲。明代的朱载堉，1584 年《律学新说》，把 2 的 12 次方根算到 25 位有效数字，比欧洲早了半个多世纪。
第 1 节问的最后一个问题，一直没答：为什么标准音是 440 赫兹？
因为这个问题的答案不在音乐里。
全文所有的关系都是被物理逼出来的：整数倍的一列是"两头架死"逼的，1.5 是数出来的，12 是耳朵的精度逼的，七个音是那条链连着数出来的。唯独"从哪儿起步"这一件事，物理不管。你把整套系统平移到 435、442、444 上，所有关系一个都不会变。
所以它只能靠约定。1939 年在伦敦的一次会议上，440 被定了下来。而为什么偏偏是 440，不是 439——理由是工程上的：那年头的电子和广播设备靠从一个高频振荡器分频往下除来产生标准音，440 = 2×2×2×5×11，除得动；而 439 是质数，除不动。
选它，是因为好算。
所以这篇文章可以这么收尾：课本唯一给了你数字的那个东西（440），恰恰是全篇里最任意的一个；而课本讲不明白、只丢给你一个词的那个东西（音色），才是从头到尾被物理定死的。
这一节不在主线上，跳过去不影响后面。它回答的是一个额外的问题：同一根弦装到两把不同的吉他上，弦一模一样、拨法也一模一样，出来的声音为什么还是不同？
先说一件反直觉的事：你听到的声音，几乎不是那根弦发出来的。
验证很简单：找一把实心的电吉他，不插电，用力弹。它几乎是哑的。可它的弦和木吉他的弦一样在抖，抖得一点不含糊。
原因在于弦太细了。它前后动的时候，空气从两侧绕过去就把位置补上了，几乎没被推动。而按第 2 节，推不动空气就没有声音。
真正在发声的是琴身。弦的抖动通过琴桥传到面板上，面板是一大片，它一动就能推动一大片空气。弦是下命令的，琴身才是干活的。
那琴身是怎么"翻译"这道命令的？还是第 9 节那个荡秋千：每样东西都有自己最容易被推动的节奏。而琴身不是一个秋千，是一大堆。面板有很多种弯法，箱子里的那团空气自己也有节奏（吉他大约在 100 赫兹上下）。所以琴身"爱听"的不是一个频率，是一串频率。
于是分布就是这么定下来的：弦交上来一张清单（f 多少、2f 多少、3f 多少……），琴身对清单上的每一条分别回应——撞上它爱听的频率就放大，离得远就几乎传不出去。
| 频率 | 弦给的 | 琴身放大多少 | 真正传出去的 |
|---|---|---|---|
| f | 10 | ×3 | 30 |
| 2f | 5 | ×1 | 5 |
| 3f | 3 | ×6 | 18 |
| 4f | 2 | ×0.5 | 1 |
注意中间那一列是乘，不是加。而且它跟你弹的是哪个音没有任何关系——它是这把琴自己的性格。把这一列画成一条曲线，就是这把琴的"频率响应"。
所以换琴身，等于换了中间那一列，乘出来的分布自然不同。
这件事最有说服力的证据，不在乐器上，在你自己嘴里。
唱一个稳定的音，音高别变，把嘴型从"啊"慢慢变成"衣"，再变成"呜"。
你的声带从头到尾在做同一件事，抖法没变，交上来的清单一模一样。你只改了口腔的形状——也就是换了中间那一列。
出来的却是三个截然不同的声音。
元音的本质就是不同的分布，声源一模一样。你说话的时候，其实一直在实时地改那条曲线。